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已知,如图锐角三角形ABC内接于O,∠ABC=45°,点D是圆O上一点,过点D的切线DE交AC的延 且DE平行于BC,连接AD,BD,BE,AD的垂线AF与DC的延长线交于点F,求证△ABD相似于△A

时间:2018-07-05 18:58:23    作者:答案圈
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已知,如图锐角三角形ABC内接于O,∠ABC=45°,点D是圆O上一点,过点D的切线DE交AC的延 且DE平行于BC,连接AD,BD,BE,AD的垂线AF与DC的延长线交于点F,求证△ABD相似于△ADEjyZ答案圈

证明:jyZ答案圈

∵BC平行DE.jyZ答案圈

∴∠AED=∠ACB;jyZ答案圈

又∠ADB=∠ACB.(同弧所对的圆周角相等)jyZ答案圈

∴∠AED=∠ADB.(等量代换)-------------------------------------------------(1)∵DE与圆相切.jyZ答案圈

∴∠ADE=∠ABD.(弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角)----------------(2)∴⊿ABD∽⊿ADE.jyZ答案圈

(注:若没学过弦切角定理,在证∠ADE=∠ABD时可以按如下过程来写.jyZ答案圈

连接DO并延长交圆O于M,连接AM.DM为直径,则∠MAD=90°,∠AMD+∠ADM=90°;又DE为切线,则OD垂直于DE,∠ADE+∠ADM=90°.jyZ答案圈

∴∠ADE=∠AMD;又∠ABD=∠AMD.故∠ABD=∠ADE.)jyZ答案圈

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